有关梯度垂直于切线的讨论

能否解释一下为什么梯度是垂直于切线或切平面呢？

当我们谈论梯度时，我们通常是指多元函数的梯度。梯度是一个向量，表示了函数在某一点处变化最快的方向。梯度的计算是通过求函数的偏导数得到的。对于一个多元函数f(x, y, …, z)，其梯度表示为：

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, …, ∂f/∂z)

注意，这里我们讨论的是梯度与切线或切平面的关系，而不是梯度与曲线或曲面的关系。事实上，梯度与曲线或曲面并不垂直，而是与函数在某点处的切线或切平面垂直。

要解释为什么梯度垂直于切线（对于二维函数）或切平面（对于三维函数），我们可以从几何和代数两个角度来考虑。

  1. 几何角度：

在二维函数（即只有两个自变量x和y的函数）的情况下，函数在平面上的等高线表示函数值相等的点的集合。梯度向量指向等高线的法线方向，即垂直于等高线的方向。而在一个点上，等高线的切线与等高线相切，因此梯度向量垂直于切线。

对于三维函数，情况类似。函数在空间中的等值面表示函数值相等的点的集合。梯度向量指向等值面的法线方向，即垂直于等值面的方向。而在一个点上，等值面的切平面与等值面相切，因此梯度向量垂直于切平面。

  1. 代数角度：

在一个点上，两个向量垂直的充分必要条件是它们的点积为0。考虑二维函数f(x, y)，假设有一个曲线C : r(t) = (x(t), y(t))，它在点P = (x0, y0)处与等高线相切。切线向量可以表示为r’(t)1，其中t是曲线的参数。

由于曲线C与等高线相切，有f(x(t), y(t)) = k（k为常数）。对该等式求关于t的导数，我们得到：

∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt = 0

将向量r’(t)表示为(dx/dt, dy/dt)，可以看到上述等式就是梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)与切线向量r’(t)的点积为0。因此，梯度与切线垂直。

对于三维函数f(x, y, z)的情况，方法类似。假设有一个曲面S : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，它在点P = (x0, y0, z0)处与等值面相切。切平面上的向量可以表示为r_u(u, v) = ∂r/∂u 和 r_v(u, v) = ∂r/∂v1，其中u和v是曲面的参数。

由于曲面S与等值面相切，有f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = k（k为常数）。对该等式求关于u和v的偏导数，我们得到：

∂f/∂x * ∂x/∂u + ∂f/∂y * ∂y/∂u + ∂f/∂z * ∂z/∂u = 0 ∂f/∂x * ∂x/∂v + ∂f/∂y * ∂y/∂v + ∂f/∂z * ∂z/∂v = 0

可以看到这两个等式分别表示梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)与切平面上的向量r_u 和 r_v 的点积为0。因此，梯度与切平面垂直。

综上所述，无论是从几何还是代数的角度来看，梯度都是垂直于二维函数的切线或三维函数的切平面。这个性质在优化、机器学习和物理等领域具有重要的应用。

  1. 为什么切线向量可以这样表示？在这个情境中，曲线C是由参数方程r(t) = (x(t), y(t))表示的，这意味着曲线上的每个点都可以用一个参数t表示。当我们沿着这个参数变化时，我们实际上在沿着曲线移动。参数t可以视为一个自变量，它可以用来表示曲线上的点的位置。现在，我们要找到曲线C在点P = (x0, y0)处的切线向量。在数学中，当我们谈论曲线在某点的切线时，我们实际上是指曲线在该点处的切线向量。切线向量表示了曲线在该点处的局部变化方向。要找到切线向量，我们需要求参数方程r(t)关于参数t的导数。这是因为导数表示了函数在某一点处的变化率。对于向量值函数r(t) = (x(t), y(t))，我们需要分别对x(t)和y(t)求导：r’(t) = (dx(t)/dt, dy(t)/dt)这个向量r’(t)就是曲线C在点P = (x0, y0)处的切线向量。它给出了曲线在该点处的局部变化方向。对于三维空间中的曲线（例如r(t) = (x(t), y(t), z(t))），方法类似，切线向量可以表示为r’(t) = (dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt)。 ↩ ↩2